Ejercicios de la ecuación de la recta

Estimados, les dejo algunos ejercicios resueltos que considero puedan revisarlos.



1) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, −3) y es paralela a la recta que une los puntos (4, 1)) y (−2, 2).

Como la recta r es paralela a la recta s, entonces:

         mr = ms = (2 - 1)/(-2 - 4) = -1 / 6

 

2) Dado el triángulo ABC, de coordenadas A(0, 0), B(4, 0) y C(4, 4); calcula la ecuación de la mediana que pasa por el vértice C.

El punto medio de AB es:  M (ab) = [(0+4)/2 ; (0+0)/2 ] = ( 2 , 0 )
Luego escogemos un punto de paso de la recta:  B (4 , 0)
 

 

3) Escribe, todas las formas posibles la ecuación de la recta que pasa por  A(1, 2) y B(−2, 5).

Esperando sea de su agrado, estaré atento a sus comentarios.

saludos

Ecuación de la Recta

Pendiente de la Recta

La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma la recta con la dirección positiva del eje OX.

                             

Pendiente dado el ángulo: 
Pendiente dado el vector director de la recta: 

Pendiente dados dos puntos:
                               

Ecuación punto-pendiente

De la pendiente, se obtiene:

                             

 

Ejemplos:
1) Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director = (2,5). Escribir su ecuación punto pendiente.

 

2) Hallar la ecuación de la recta que pasan por A(-2, -3) y tenga una inclinación de 45°.

Del dato:      , siendo (x1 , y1) = ( -2 , -3 )

Luego:     

              y - y1 = m ( x - x1 )

 

                

 

Ecuación general de la recta

Se presenta de la forma:

                                              

 

Esta expresión recibe el nombre de ecuación general o implicita de la recta. De esta forma se acostumbra a dar la respuesta cuando se pide la ecuación de una recta.

 

Las componentes del vector director son:    

 

La pendiente de la recta es:    

 

 

Ejemplos:

1)  Hallar la ecuación de la que pasa por A (1,5) y tiene como vector director igual (-2, 1).

 

 

2)  Hallar la ecuación general de la que pasa por A (1,5) y tiene como pendiente m = -2.

Usando la ec. punto - pendiente:
                                  
ordenando:

                     

Ecuación explícita u ordinaria de la recta

Si en la ecuación general de la recta:

                                                          

despejamos y, se obtiene la ecuación explícita de la recta:

                         

lo escribimos asi:

                                 

1) Hallar la ecuación en forma explícita de la recta que pasa por el punto A (1,5) y tiene como pendiente m=-2.
De la ecuación ordinaria: 

                          

 

luego reducimos:                

 

2) Hallar la ecuación ordinaria de la recta que pasan por los puntos A(-2, -3) y B(4,2).

La pendiente de la recta es:     

 

reemplazando en la ec. punto - pendiente:

                            

                              6y + 18 = 5x + 10

reduciendo:

                        y = (5/6)x - 4/3

NOTA:
Espero que este resumen de la parte teórica y práctca de la recta les sirva de complemento a las tutorías desarrolladas.

Esperando sea de su agrado y ante algún comentario estaré atento a absolverlos.

Raúl Matos

Propiedades de las Raíces (Ec. Cuadrática)

Estimados, aqui les presento un problema de ecuación cuadrática, para encontrar las raíces sin necesidad de resolver tal ecuación.

Hallar los valores de "k" para que la ecuación:  kx^2 + 6x + 32 = 0 , tenga sus raíces cuya suma es -2.

SOLUCIÓN:

La suma de las raíces de la ec. cuadrática (ax^2 + bx + c = 0) es  S = -b/a, luego:

S = x1 + x2 

S = -b/a = -2

    - 6 / k = -2

reduciendo:  6 = 2k

entonces:   k = 3

Espero tengan éxitos,

Saludos

Números Reales e Inecuaciones

Hola estimados, en esta parte voy a demostrar usando las propiedades de los números reales, ejercicios donde intervienen los intervalos o inecuaciones.

Debo recordar algunas propiedades que son útiles para toda demostración.
("E" indica pertenencia, "R" son los reales)

a) si a E R , entonces: a^2 >= 0
b) si a > 0, entonces -a > 0
c) si 0 < a < b, entonces  a^2 < b^2
d) si a < b < 0, entonces  a^2 > b^2
e) si -1 < a < 0, entonces  1 > -a
f) si 0 < a < b, entonces  -a > -b
g) si  0 < a , 0 < b entonces 0 < a + b

Prob.
Demostrar que si  -1 < a < 0, entonces  a^3 > a  ?.

SOLUCIÓN:

a) del dato: -1<a<0, se observa que a es negativo, por lo tanto (-a) será positivo (>0)

b) si: 0 > a > -1
sumo uno a ambos lados:
        a + 1 > 0   ..... (1)
c) de (1) multiplico por a^2 a toda la expresión, ya que a^2 > 0 y no se altera la desigualdad.
      a^2 .(a + 1) > a^2 . 0
      a^2 .(a + 1) > 0
      a^3 + a^2 > 0   .....(2)

d) de (1) multiplico por (-a) a ambos lados, ya que (-a > 0) y no se altera la desigualdad.
    (-a).(a + 1) > (-a).0
    - a^2 - a > 0     .....(3)

e) de la ec. (2) y (3), sumo ambos lados de las desigualdades (propiedad (g) ):

   a^3 + a^2 - a^2 - a > 0
   a^3 - a > 0

por lo tanto:   a^3 > a
y asi queda demostrado este ejercicio.

Espero sea de su agrado y un referente para otros usuarios.

Saludos,
Ing. Raúl Matos