Ejercicios de la ecuación de la recta

Estimados, les dejo algunos ejercicios resueltos que considero puedan revisarlos.



1) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, −3) y es paralela a la recta que une los puntos (4, 1)) y (−2, 2).

Como la recta r es paralela a la recta s, entonces:

         mr = ms = (2 - 1)/(-2 - 4) = -1 / 6

 

2) Dado el triángulo ABC, de coordenadas A(0, 0), B(4, 0) y C(4, 4); calcula la ecuación de la mediana que pasa por el vértice C.

El punto medio de AB es:  M (ab) = [(0+4)/2 ; (0+0)/2 ] = ( 2 , 0 )
Luego escogemos un punto de paso de la recta:  B (4 , 0)
 

 

3) Escribe, todas las formas posibles la ecuación de la recta que pasa por  A(1, 2) y B(−2, 5).

Esperando sea de su agrado, estaré atento a sus comentarios.

saludos

Ecuación de la Recta

Pendiente de la Recta

La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma la recta con la dirección positiva del eje OX.

                             

Pendiente dado el ángulo: 
Pendiente dado el vector director de la recta: 

Pendiente dados dos puntos:
                               

Ecuación punto-pendiente

De la pendiente, se obtiene:

                             

 

Ejemplos:
1) Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director = (2,5). Escribir su ecuación punto pendiente.

 

2) Hallar la ecuación de la recta que pasan por A(-2, -3) y tenga una inclinación de 45°.

Del dato:      , siendo (x1 , y1) = ( -2 , -3 )

Luego:     

              y - y1 = m ( x - x1 )

 

                

 

Ecuación general de la recta

Se presenta de la forma:

                                              

 

Esta expresión recibe el nombre de ecuación general o implicita de la recta. De esta forma se acostumbra a dar la respuesta cuando se pide la ecuación de una recta.

 

Las componentes del vector director son:    

 

La pendiente de la recta es:    

 

 

Ejemplos:

1)  Hallar la ecuación de la que pasa por A (1,5) y tiene como vector director igual (-2, 1).

 

 

2)  Hallar la ecuación general de la que pasa por A (1,5) y tiene como pendiente m = -2.

Usando la ec. punto - pendiente:
                                  
ordenando:

                     

Ecuación explícita u ordinaria de la recta

Si en la ecuación general de la recta:

                                                          

despejamos y, se obtiene la ecuación explícita de la recta:

                         

lo escribimos asi:

                                 

1) Hallar la ecuación en forma explícita de la recta que pasa por el punto A (1,5) y tiene como pendiente m=-2.
De la ecuación ordinaria: 

                          

 

luego reducimos:                

 

2) Hallar la ecuación ordinaria de la recta que pasan por los puntos A(-2, -3) y B(4,2).

La pendiente de la recta es:     

 

reemplazando en la ec. punto - pendiente:

                            

                              6y + 18 = 5x + 10

reduciendo:

                        y = (5/6)x - 4/3

NOTA:
Espero que este resumen de la parte teórica y práctca de la recta les sirva de complemento a las tutorías desarrolladas.

Esperando sea de su agrado y ante algún comentario estaré atento a absolverlos.

Raúl Matos

Propiedades de las Raíces (Ec. Cuadrática)

Estimados, aqui les presento un problema de ecuación cuadrática, para encontrar las raíces sin necesidad de resolver tal ecuación.

Hallar los valores de "k" para que la ecuación:  kx^2 + 6x + 32 = 0 , tenga sus raíces cuya suma es -2.

SOLUCIÓN:

La suma de las raíces de la ec. cuadrática (ax^2 + bx + c = 0) es  S = -b/a, luego:

S = x1 + x2 

S = -b/a = -2

    - 6 / k = -2

reduciendo:  6 = 2k

entonces:   k = 3

Espero tengan éxitos,

Saludos

Números Reales e Inecuaciones

Hola estimados, en esta parte voy a demostrar usando las propiedades de los números reales, ejercicios donde intervienen los intervalos o inecuaciones.

Debo recordar algunas propiedades que son útiles para toda demostración.
("E" indica pertenencia, "R" son los reales)

a) si a E R , entonces: a^2 >= 0
b) si a > 0, entonces -a > 0
c) si 0 < a < b, entonces  a^2 < b^2
d) si a < b < 0, entonces  a^2 > b^2
e) si -1 < a < 0, entonces  1 > -a
f) si 0 < a < b, entonces  -a > -b
g) si  0 < a , 0 < b entonces 0 < a + b

Prob.
Demostrar que si  -1 < a < 0, entonces  a^3 > a  ?.

SOLUCIÓN:

a) del dato: -1<a<0, se observa que a es negativo, por lo tanto (-a) será positivo (>0)

b) si: 0 > a > -1
sumo uno a ambos lados:
        a + 1 > 0   ..... (1)
c) de (1) multiplico por a^2 a toda la expresión, ya que a^2 > 0 y no se altera la desigualdad.
      a^2 .(a + 1) > a^2 . 0
      a^2 .(a + 1) > 0
      a^3 + a^2 > 0   .....(2)

d) de (1) multiplico por (-a) a ambos lados, ya que (-a > 0) y no se altera la desigualdad.
    (-a).(a + 1) > (-a).0
    - a^2 - a > 0     .....(3)

e) de la ec. (2) y (3), sumo ambos lados de las desigualdades (propiedad (g) ):

   a^3 + a^2 - a^2 - a > 0
   a^3 - a > 0

por lo tanto:   a^3 > a
y asi queda demostrado este ejercicio.

Espero sea de su agrado y un referente para otros usuarios.

Saludos,
Ing. Raúl Matos
   

¿CÓMO GRAFICAR?

Estimados, les dejo un link interesante en la que muestra cómo graficar y hacer cálculos en matemáticas.

https://www.desmos.com/calculator


Saludos

¿CÓMO ESTUDIAR MATEMÁTICAS?

Matemática universitaria es distinta de la matemática del secundario
En las clases universitarias de matemática se cubren mucho más temas que en las clases de matemática del secundario. Se espera que proceses nuevo material en forma más rápida. Los exámenes están más separados porque cubren mucho más temas. Y los docentes no controlan si hiciste la tarea, así que es necesario que:

• Asumas la responsabilidad de mantenerte al día con tus tareas, y que entiendas bien lo que hay que hacer.
• Es muy probable que necesites mucho más tiempo por semana para estudiar en tu casa.
• Los exámenes parecen más complicados porque cubren mucho más temas

Saludos;
Ing. Raúl Matos

Estudiar matemática es distinto de estudiar otras asignaturas

Matemática se aprende resolviendo ejercicios y problemas. Hay que hacer  y aprender, practicando. Esto te ayudará a aprender las fórmulas y técnicas necesarias, como así también los procedimientos algebraicos necesarios.

Advertencia: cada clase de matemática se basa sobre la clase anterior, y esto sucede durante todo el curso. Por eso es necesario atender en clase, estudiar de los libros y hacer la tarea. Estar atrasado una clase te pone en desventaja. Estar atrasado tres o cuatro clases te pone en un grave problema.

Aliento: cada clase de matemática se basa sobre la clase anterior, y esto sucede durante todo el curso. Al estar al día con la tarea te beneficia ya que estarás repasando los conceptos previos a medida que incorporás los nuevos; y te ayudará a encontrar los conceptos claves, y ahorrarás tiempo de estudio.

Saludos;
Ing. Raúl Matos


Tiempo de estudio
La regla general es que son necesarias dos horas de estudio en casa por cada hora de clase. Y muchas veces eso no es suficiente, así que es necesario que:

• Le dediques todo el tiempo que necesites a realizar tus tareas y a entender completamente el tema.
• Estudia en un grupo, esto te ayudará a no desalentarte y podés consultar con tus compañeros los ejercicios y/o problemas con los que tuviste dificultades.
• Cuanto más difícil sea el material, más tiempo necesitarás para estudiar.

SER ESTUDIANTE ACTIVO
Ser un estudiante activo en el proceso de aprendizaje de matemática significa:

• Tomar la responsabilidad del estudio, distinguiendo qué sabés y qué no, y sabiendo cómo pedir ayuda a los profesores para que te asesoren sobre los temas que no dominás correctamente.
• Atender en clases todos los días y tomar nota lo más complemente posible. Los profesores suelen basar sus preguntas y/o ejercicios de examen en lo explicado en clases, en los ejemplos dados, como así también en los temas y/o ejercicios de los libros de texto.
• Participar activamente en clase. Adelantarse a los temas, buscar previamente en los libros, anticiparse a resolver problemas.
• Animarse a hacer preguntas en clase, preguntas que estén relacionadas con el tema. Tal vez otro alumno esté esperando la respuesta a la misma pregunta.
• Podés preguntarle a los profesores de consulta en sus horarios, como así también a tu profesor de clase, quién estará complacido de ver tu interés, y te estarás ayudando a vos mismo.
• Buenos hábitos de estudio en matemática desde el principio del curso harán tu estudio para el examen más sencillo

Saludos,

Ing. Raúl Matos Acuña

SALUDOS

Bienvenidos a este Blog, aqui encontrará materiales adicionales necesarios para profundizar sobre la matemática superior, que serán complementarios en el desarrollo del curso Cálculo vectorial.

Saludos,

Ing. Raúl Matos