Números Reales e Inecuaciones

Hola estimados, en esta parte voy a demostrar usando las propiedades de los números reales, ejercicios donde intervienen los intervalos o inecuaciones.

Debo recordar algunas propiedades que son útiles para toda demostración.
("E" indica pertenencia, "R" son los reales)

a) si a E R , entonces: a^2 >= 0
b) si a > 0, entonces -a > 0
c) si 0 < a < b, entonces  a^2 < b^2
d) si a < b < 0, entonces  a^2 > b^2
e) si -1 < a < 0, entonces  1 > -a
f) si 0 < a < b, entonces  -a > -b
g) si  0 < a , 0 < b entonces 0 < a + b

Prob.
Demostrar que si  -1 < a < 0, entonces  a^3 > a  ?.

SOLUCIÓN:

a) del dato: -1<a<0, se observa que a es negativo, por lo tanto (-a) será positivo (>0)

b) si: 0 > a > -1
sumo uno a ambos lados:
        a + 1 > 0   ..... (1)
c) de (1) multiplico por a^2 a toda la expresión, ya que a^2 > 0 y no se altera la desigualdad.
      a^2 .(a + 1) > a^2 . 0
      a^2 .(a + 1) > 0
      a^3 + a^2 > 0   .....(2)

d) de (1) multiplico por (-a) a ambos lados, ya que (-a > 0) y no se altera la desigualdad.
    (-a).(a + 1) > (-a).0
    - a^2 - a > 0     .....(3)

e) de la ec. (2) y (3), sumo ambos lados de las desigualdades (propiedad (g) ):

   a^3 + a^2 - a^2 - a > 0
   a^3 - a > 0

por lo tanto:   a^3 > a
y asi queda demostrado este ejercicio.

Espero sea de su agrado y un referente para otros usuarios.

Saludos,
Ing. Raúl Matos