Hola estimados, en esta parte voy a demostrar usando las propiedades de los números reales, ejercicios donde intervienen los intervalos o inecuaciones.
Debo recordar algunas
propiedades que son útiles para toda demostración.
("E" indica pertenencia, "R" son los reales)
a) si a E R , entonces: a^2 >= 0
b) si a > 0, entonces -a > 0
c) si 0 < a < b, entonces a^2 < b^2
d) si a < b < 0, entonces a^2 > b^2
e) si -1 < a < 0, entonces 1 > -a
f) si 0 < a < b, entonces -a > -b
g) si 0 < a , 0 < b entonces 0 < a + b
Prob.
Demostrar que si -1 < a < 0, entonces a^3 > a ?.
SOLUCIÓN:
a) del dato: -1<a<0, se observa que a es negativo, por lo tanto (-a) será positivo (>0)
b) si: 0 > a > -1
sumo uno a ambos lados:
a + 1 > 0 ..... (1)
c) de (1) multiplico por a^2 a toda la expresión, ya que a^2 > 0 y no se altera la desigualdad.
a^2 .(a + 1) > a^2 . 0
a^2 .(a + 1) > 0
a^3 + a^2 > 0 .....(2)
d) de (1) multiplico por (-a) a ambos lados, ya que (-a > 0) y no se altera la desigualdad.
(-a).(a + 1) > (-a).0
- a^2 - a > 0 .....(3)
e) de la ec. (2) y (3), sumo ambos lados de las desigualdades (propiedad (g) ):
a^3 + a^2 - a^2 - a > 0
a^3 - a > 0
por lo tanto: a^3 > a
y asi queda demostrado este ejercicio.
Espero sea de su agrado y un referente para otros usuarios.
Saludos,
Ing. Raúl Matos
